Комплимент и комплемент - что, как, когда и почему

По рабочему моменту нужно было правильно употребить слово "компл_мент".

"Ну и чего здесь сложного?", спросят некоторые, и будут неправы. Потому что "комплимент" как "вежливость, приятное замечание" - это не единственный вариант написания.